Question

证明：函数f（x）=x+1／x在（0,1）上是减函数

希望可以详细一点 x+1／x是x加x分之1

Answer 1

题干写错了函数f(x)=x+1/x在(0,1)上是减函数
有两种方法，
一种用导数求，对其求导 ，
注:x^2为x的平方
f'(x)=1-1/x^2
因为0<x<1
=>
0<x^2<1
=>
x^2>1
所以1-1/x^2<0，即函数f(x)=x+1/x在(0,1)上是减函数。
第二种用定义法：
设0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-（x2+1/x2）通分后因式分解得
=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2
因为：(x1-x2)<0,(x1x2-1)<0,x1x2>0
所以整个式子大于零
所以为减函数

Answer 2

证明：令0<a<b<1
f(a)=a+1/a
f(b)=b+1/b
f(a)-f(b)=a-b+(1/a-1/b)=a-b+(b-a)/ab=(a-b)(1-ab)
∵0<a<b<1
∴a-b>0,1-ab>0
所以（a-b）（1-ab）>0
即f（a）-f(b)>0
∴f(a)>f(b)
又0<a<b<1
∴f(x)在（0,1）上是减函数

（像这种证明题，只能用导数或者定义证明，不能用复合函数的办法做，不然高考不给分的）

希望对你有帮助，chun1721提供答案

Answer 3

把f(x)=x+1/x转化一下
即
f(x)=1+1/x
1/x在（0,1】递减
所以函数f(x)=x+1/x在（0,1】上是减函数
满意的话
望采纳

Answer 4

令0＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)=x1-x2+(1/x1)-(1/x2)
=【（x1- x2 ）(x1x2 -1)】/x1x2
而0＜x1＜x2＜1 所以 x1x2 ＜1 x1x2 -1＜0
x1- x2 ＜0 所以f(x1)-f(x2)＞0
故函数f（x）=x+1／x在（0,1）上是减函数
原命题得证

Answer 5

高三的时候做可以用导数
高一呢就用定义，设0<x1<x2<=1
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)-(x2-x1)/(x1x2)=(x2-x1)(x1x2-1)/(x1x2)<0
所以f(x)在(0,1]是减函数