Question

已知，MN是线段AB垂直平分线，C,D是MN上的两点，求证：（1）△ABC,△ABD是等腰三角形；（2）角CAD=角CBD

Answer 1

解析：
当M,N点位于AB同侧时，
∵MN是线段AB垂直平分线，C,D是MN上的两点，
∴DA=DB,CA=CB，
∴△ABC,△ABD是等腰三角形，
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
当M,N点位于AB两侧时，
∵MN是线段AB垂直平分线，C,D是MN上的两点，
∴DA=DB,CA=CB，
∴△ABC,△ABD是等腰三角形，
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,

Answer 2

证明：
假设C,D点位于AB线段同侧，
∵MN是线段AB的垂直平分线，C,D是MN上的两点，
∴DA=DB,CA=CB，
∴△ABC,△ABD是等腰三角形，
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D点位于AB线段两侧，
∵MN是线段AB垂直平分线，C,D是MN上的两点，
∴DA=DB,CA=CB，
∴△ABC,△ABD是等腰三角形，
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D中任一点位于AB线段上，设为C则一点D必然在AB线段外，
∵MN是线段AB垂直平分线，C,D是MN上的两点，
∴DA=DB,CA=CB，
∴△ABD是等腰三角形，A、B、C在一条线段上，△ABC不成立；
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA=180º,
即∠CAD=∠CBD,

Answer 3

设 MN与AB相交点为O，

∵ MN是AB的垂直平分线，

∴ ∠COA=∠COB=90°
OA=OB

又∵CO为公共边

∴ △COA≌△COB
∴ ∠CAO=∠CBO,CA=CB

同理可证△DOA≌△DOB，∠DAO=∠DBO,DA=DB

∴ 证得1）△ABC、△ABD是等腰三角形
2）∠CAD=∠CAO+∠DAO=∠CBO+∠DBO=∠CBD

【PS:先不说这么简单的题，连“∠”符号都打不出来，亏你还知道上网问！】