Question

设n为任意正整数，p为正整数，试确定正整数p，使1^p+2^p+3^p+……+n^p都是某个正整数的平方

Answer 1

大家都知道1+2+3+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2,

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

1^4+2^4+3^4+……+n^4:
我们知道(n-1)^5=n^5-5n^4+10n^3-10n^2+5n-1
那么有
n^5-(n-1)^5=5n^4-10n^3+10n^2-5n+1
(n-1)^5-(n-2)^5=5(n-1)^4-10(n-1)^3+10(n-1)^2-5(n-1)+1
(n-2)^5-(n-3)^5=5(n-2)^4-10(n-2)^3+10(n-2)^2-5(n-2)+1
……
3^5-2^5=5*3^4-10*3^3+10*3^2-5*3+1
2^5-1^5=5*2^4-10*2^3+10*2^2-5*2+1
1^5-0^5=5*1^4-10*1^3+10*1^2-5*1+1
左边相加等于右边,
左边之和为n^5,
右边为5*(1^4+2^4+3^4+……+n^4)-10(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+10(1^2+2^2+3^2+……+n^2)-5(1+2+3+……+n)+n
令1^4+2^4+3^4+……+n^4=M
得到n^5=5M-10[n(n+1)/2]^2+10n(n+1)(2n+1)/6-5n(n+1)/2+n,
上面的式子中有个M,解出
M=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30.
即1^4+2^4+3^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30.
补:
1^5+2^5+3^5+……+n^5
=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12
。。。。。

以此类推

显而易见，p=3时，=[n(n+1)/2]^2
为某数的平方，

Answer 2

p=3时，
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2