Question

关于x的一元二次方程(a+x)ﾁ0ﾅ5x+bx+a-c/4=0有两个相等的实数根,那么

Answer 1

　　知识要点：
　　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
　　Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
　　Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
　　Δ<0时，方程没有实数根。
　　以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
　　注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= ，
（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。

　　2.根的判别式有以下应用：
　　①不解一元二次方程，判断根的情况。
　　②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
　　③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
　　注意：
　　①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。
　　②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

　　例题分析

第一阶梯

例1、不解方程，试判定方程根的情况：
(1) 3x2sub> x－1=0 (2)

提示：根据判别式△= b2－4ac中，因为b2≥0，当a与c异号时，－4ac＞0，所以当a与c异号时，b2－4ac＞0方程必有两个不等实数根。

参考答案：由以上分析，方程(1)的a与c异号，判别式b2－4ac＞0方程必有两个不等实根。对于方程（2）由于a与c同号，所以只能把a、b、c值代入b2－4ac中计算后才能得出结论。

例2、试判定方程（3）mx2－(2m－1)x＋m＋1=0根的情况。

提示：对于方程（3）由于二次项系数含有待定字母m，并且已知条件中既没讲明方程的次数，又没讲明方程的根的个数，所以应在讨论方程次数的情况下，研究方程根的情况。

参考答案：对于方程（3），当m=0时，方程为一元一次方程，方程为x＋1=0，可知有一个实数根；当m≠0，方程为一元二次方程，判别式b2－4ac =－8m＋1。此时应注意－8m＋1＞0；－8m＋1=0；－8m＋1＜0三种情况都有存在的可能性。

例3、试判定关于x的方程（4）x2－(2m＋1)x＋2m2＋3=0根的情况。

提示： 对于方程（4）是否想到C=2m2＋3＞0，故a与c同号。

计算 △= b2－4ac =[－(2m＋1)]2－4(2m2＋3)]=－4m2＋4m－11

[注]当所求出的△为含等定字母的二次代数式时，只有通过配方将其变形，即△= －10才能判断出大于零？还是小于零。

参考答案：方程（1）有两个不等实数根，方程（2），方程有两个相等实数根，方程（3）当m=0时，方程有一个实数根为x=－1；当m＞有两个不相等的实数根，当m= 方程有两个相等的实数根，当m＜ 且m≠0时，方程无实数根。方程（4） ，因为≤0，－10＜0，所以 －10＜0，即△＜0方程无实数根。

第二阶梯

例1、已知关于x的二次方程有两个实数根，求k的值。

提示：为保证方程为二次方程，含未知数项的最高次数k2－3k＋4=2；并且为保证方程有两个实数根，判别式△= b2－4ac≥0。应注意以上两条要同时满足，缺一不可。
参考答案：由k2－3k＋4=2得k=1或2；由△≥0得k≤ ，所以k=2 (舍)，k=1。

例2、已知a、b、c是△ABC的三条边的长，且关于x的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋a－b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。

提示：首先应考虑二次项系数c－b≠0；判别式△= b2－4ac =0，即[2(b－a)]2－4(c－b)(a－b)=0。整理得：a2－ab－ac＋bc=0，这时如何变形才能判断出△ABC的形状？

参考答案：由二次项系数c－b≠0得c≠b；由判别式△＝0得a2－ab－ac＋bc=0，分组分解得(a－c)(a－b)=0得a=c , a=b , 即a=b=c，由于c≠b，所以只能是：a=c或a=b，故△ABC为等腰三角形。

例3、已知关于x的二次方程x2－3x＋a=0的两个根都是整数，求满足条件的a的非负整数值。

提示：
　　①为保证方程根为整数，首先应使方程有实数根。这样就想到判别式△≥0，即9－4a≥0，从而确定了a的取值范围；a≤。
②考虑a为非负数负数，即a≥0。
③由①和②确定出0≤a≤ ，并想到a为整数，从而确定出a的非负整数值。
④以上是在实数根范围确定出a的非负整数值，为保证方程根为整数，只有将a的值分别代入原方程分别验证是否符合题意。

参考答案：
a=1时，方程根不是整数，a=0或1时方程的根为整数。

第三阶梯

例1、已知a、b、c为直角三角形的三条边的长，c为斜边。求证：关于x的方程必有两个不相等的实数根。

提示：
①方程整理为
②
③隐条件：勾股定理

参考答案：为三角形边，所以，故 ＞0，方程必有两个不等实根

例2、已知x1、x2是关于x的方程 的两个实数根，对于式子 是否存在最小值零，请说明理由；是否存在最大值，请说明理由

提示：因为 (x1-1)2≥0且 (x2-1)2≥0，故 (x1-1)2＋(x2-1)2 ≥0。若存在最小值，只有 x1=x2=1。而x1与x2能否相等，则由判别式是否等于零判定。

参考答案：
①由△=4(m+2)2+4，因为4(m+2)2≥0，4＞0，所以4(m+2)2+4＞0，方程两根x1≠x2
②由于只有当x1=x2=1，式子(x1-1)2+(x2-1)2的最小值为零，而方程不存在相等实根，所以式子的最小值不可能为零。
③由于x1≠x2，所以(x1-1)2+(x2-1)2＞0，所以式子不可能存在最大值。

例3、设a、b、c为实数且c≠0，求证关于x的二次方程(a-b+c)x2+4(a-b)x+(a-b-c)=0有实数根。

提示：

由判别式得 ，如何整理变形？
由则应变形为： ，使 再整理。

参考答案：＞0方程有两个不等实根。