Question

已知α、β是方程x 2 -7x+8=0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求 2 α +3

已知α、β是方程x 2 -7x+8=0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求 2 α +3 β 2 的值．

Answer 1

由题可得：α+β=7，αβ=8， 则α 2 +β 2 =（α+β） 2 -2αβ=33，（α-β） 2 =（α+β） 2 -4αβ=17， 而α＞β，则α-β= 17 ， 设A= 2 α +3β 2 ，B= 2 β +3α 2 ， A+B=2（ 1 α + 1 β ）+3（α 2 +β 2 ）= 2(α+β) αβ +3（α 2 +β 2 ）= 2×7 8 +3×33=100 3 4 ， A-B=2（ 1 α - 1 β ）+3（β 2 -α 2 ）= 2(β-α) αβ +3（β+α）（β-α）= -2 17 8 +3×7×（-2 17 ）=- 85 17 4 ， ∴A= 1 2 （100 3 4 - 85 4 17 ）= 1 8 （403-85 17 ）， 即 2 α +3 β 2 = 1 8 （403-85 17 ）．