Question

已知函数f（x）=x-lnx（1）求f（x）的单调区间；（2）求证：(1+122)(1+132)…(1+1n2)＜e其中n≥2，n∈N*

已知函数f（x）=x-lnx（1）求f（x）的单调区间；（2）求证：(1+122)(1+132)…(1+1n2)＜e其中n≥2，n∈N*．

Answer 1

（1）解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数f′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得x＞1，
∴f（x）的单调递减区间是（0，1）；f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；
（2）证明：当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，
∴当x＞1时，lnx＜x-1．
令x＝1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），则ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．
所以当n≥2，n∈N^*时，ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n?1)

＝1?

1

n

＜1，
即ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜1，
∴(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e．    …14分．