Question

设函数f(x)＝ax3?b2x2+c，其图象过点（0，1）．（1）当方程f′（x）-x+1=0的两个根分别为是12，1时，求f

设函数f(x)＝ax3?b2x2+c，其图象过点（0，1）．（1）当方程f′（x）-x+1=0的两个根分别为是12，1时，求f（x）的解析式；（2）当a＝23，b≠0时，求函数f（x）的极大值与极小值．

Answer 1

由题意可知，f（0）=1所以c=1    
（1）由f(x)＝ax3?

b

2

x2+1，得f′（x）=3ax²-bx．
因为f′（x）-x+1=0，即3ax²-bx-x+1=0的两个根分别为

1

2

，1
所以

3a× 1 4 ? b 2 ? 1 2 +1＝0 3a?b?1+1＝0

解得

a＝ 2 3 b＝2

故f(x)＝

2

3

x3?x2+1
（Ⅱ）f(x)＝

2

3

x3?

b

2

x2+c
所以，f′(x)＝2x2?bx＝2x(x?

b

2

)
①若b＞0，则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增；
当x∈(0，

b

2

)时，f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
当x∈(

b

2

，+∞)时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为f（0）=c=1，f（x）的极小值为f(

b

2

)＝1?

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