Question

如图，P为正方形ABCD外一点，且∠PAD=∠PBC=15°，求证：△PDC为等边三角形

如图，P为正方形ABCD外一点，且∠PAD=∠PBC=15°，求证：△PDC为等边三角形．

Answer 1

证明：如图，在△PAB内部作∠PAE=∠PBE=15°，连接PE，
∵∠PAD=∠PBC=15°，
∴∠ABE=∠BAE=90°-15°×2=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AD，∠AEB=60°，
∵∠PAB=∠PBA=90°-15°=75°，
∴PA=PB，
∴PE在AB的垂直平分线上，
∴∠PEA=

1

2

（360°-60°）=150°，
在△PAD和△PAE中，

AD＝AE ∠PAD＝∠PAE＝15° AP＝AP

，
∴△PAD≌△PAE（SAS），
∴∠PDA=∠PEA=150°，
∴∠PDC=150°-90°=60°，
同理可得∠PCD=60°，
∴△PDC为等边三角形．