Question

高中数学最大值问题

√(8x-x^2)-√(14x-x^2-48)的最大值是多少？
我的过程是原式=√[x(8-x)]-√[(-x+6)(x-8)] 第二个括号=0时原式最大。这样x=6，原式=2√3.
和标准答案一样，但是我的解法中‘’第二个括号=0时原式最大‘’只是一个假设。

谁能帮我完善一下我的答案？

Answer 1

两个二次函数
y1=8x-x^2= x(8-x)>=0 定义域 0<=x<=8
y2=14x-x^2-48=(8-x)(x-6)>=0 定义域 6<=x<=8
取它们共同的定义域 6<=x<=8

y1=8x-x^2= x(8-x) 在区间6<=x<=8上递减的（对称轴y=4）所以当X＝6时，y1取得最大值 ；X＝8时，y1取得最小值

y2=14x-x^2-48=(8-x)(x-6) 在区间6<=x<=8上是关于对称轴y=7对称的,由于开口向下，所以在x=7时取得最大值，在x=6 和 x=8时取得最小值

所以要求√y1-√y2的最大值就要使得y1最大同时y2最小，由上面的分析可知，当x=6时正好符合。