Question

函数有界性的充分必要条件是什么 并证明

Answer 1

函数有界性的充分必要条件是必须既有上界，又有下界。因为这是有界函数的定义。也就是说规定了这样的函数才是有界函数。

解题过程如下：

设函数f(x)在数集X有定义

试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。证明：

充分性：若f(x)上界 M 下界N

则：|f(x)|<=Max{M,N}

扩展资料：

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。

Answer 2

首先需要明白的是任意一个定义都是证明其某个结论的充分必要条件。对于函数有界性也是同理。
函数f(x)在其定义区域内有界等价于存在非负实数M使得对任意的x属于其定义域总有|f(x)|≤M，这也是函数有界的一个充分必要条件（由于是定义因此其重要性是不需要证明的）。