Question

已知函数f(x)=(x-a的绝对值)，g(x)=x^2+2ax+1(a为正常数)

且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等。
(1)求a的值。
(2)求函数f(x)-g(x)的单调递增区间。

Answer 1

解：（1）依题意，有f(0)=g(0)，即|0-a|=1，考虑到a>0，解得：a=1

（注：所谓函数图像在y轴上的截距，即函数图像与y轴的交点P的纵坐标，此时点P的横坐标显然为0，因此只需将x=0代入函数解析式，求出相应的函数值即可。简单地说，函数f(x)的图像在y轴上的截距就是f(0)）

（2）令h(x)=f(x)-g(x)=|x-a|-x^2-2ax-1

显然，这是一个分段函数，以下分段讨论其单调性。

①当x≥a时，h(x)=x-a-x^2-2ax-1=-x^2+(1-2a)x-a-1

此时，h(x)是一个二次函数，其图像是开口向下的抛物线的一段，其单调区间与其对称轴的位置密切相关。

不难知道，此时h(x)的对称轴为x=(1-2a)/2

(1-2a)/2-a=(1-4a)/2，因此分情形讨论如下：（最好作出抛物线的草图帮助分析）

（i）(1-4a)/2≥0，即0<a≤1/4时，(1-2a)/2≥a

此时，h(x)在[a,(1-2a)/2]上单调递增，在[(1-2a)/2，+∞)上单调递减；

（ii）(1-4a)/2<0，即a>1/4时，(1-2a)/2<a

此时，h(x)在[a,+∞)上单调递减；

②当x<a时，h(x)=a-x-x^2-2ax-1=-x^2-(1+2a)x+a-1

不难知道，此时h(x)的对称轴为x=-(1+2a)/2

此时-(1+2a)/2<0<a，

因此h(x)在(-∞,-(1+2a)/2]上单调递增，在[-(1+2a)/2，a]上单调递减；

综合①②可知：

0<a≤1/4时，h(x)在(-∞,-(1+2a)/2]和[a,(1-2a)/2]上单调递增，在[-(1+2a)/2，a]和[(1-2a)/2，+∞)上单调递减；

a>1/4时，h(x)在(-∞,-(1+2a)/2]上单调递增，在[-(1+2a)/2，+∞)上单调递减。 

（注：右下图即a>1/4时的情形中，直线x=a和直线x=(1-2a)/2的位置颠倒了，懒得修改，见谅了……）