Question

如何判断连续性和可导性？

Answer 1

其实点和区间的情况本质上是一样的
一个函数在某一区间上连续（可导）指的是该函数在此区间的任意一点上连续（可导）。
至于判断在某一点上函数是否连续或可导，即判断某个极限是否存在。
判断函数f在点x0处是否连续，即判断极限lim(x--x0)f(x)是否存在且等于f(x0)
判断函数f在点x0处是否可导，即判断极限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在
例如函数f，在x不为0时，f(x)=xsin(1/x)；f(0)=0
在x=0处连续但不可导
因lim(x--0)|f(x)|<=lim(x--0)|x|=0知lim(x--0)f(x)=0=f(0)
而lim(x--0)(f(x)-f(0))/x=lim(x--0)sin(1/x)不存在
以上说明中lim(x--0)表x趋于0的极限，其他符号类似

Answer 2

高等数学中的函数才能谈到连续性与可导性
下面说一元函数就是只有一个自变量那种 比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)
先提下基本初等函数 ：常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
A基本初等函数复合而成的复合函数 无论多么复杂 在它定义域上连续并可导！！
证明的时候：
【1】比如要你证明该函数在x=a处连续
那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f(x)
2 lim(x趋近于a)=limf(a)(此处暗含函数本身必须在x=a处有定义 否则直接判定他不连续，点都没有还如何连续)
满足上述1 2即可
这很难么？
或者对于一元函数来讲 可导必连续 可以先判定函数本身可导 那么他一定连续
牢记：对于初等函数与初等函数的复合函数而言 在定义域上 既可导又连续
【2】比如你要证明y=f(x)在x=a处可导
你先假设可导 那么有一个导函数y'=f'(x)
判定导函数导函数y'=f'(x)是否可导可按上述方法 一样的

那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f'(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f'(x)

满足上述1 即可 此处注意不需要导函数在x=a处有定义 可以说比连续的判断还要简单。
B 如果函数本身不是基本初等函数或其复合而成 那么就需要根据定义来 同样简单。