Question

数学:求∑(∞,n=1)n(n+1)/2^n 的和.

Answer 1

做个提示：
σ（-1)^n(1/2)^n(n²-n+1)
=σ(-1/2)^n(n²-n+1)
=σ(n²-n)(-1/2)^n+σ(-1/2)^n
第2个可以直接求出
级数σx^n=f(x)
f(x)与n从0,1开始有关，题目没告知。
求导：
σnx^(n-1)=f'(x)
再求导：σn(n-1)x^(n-2)=f''(x)
x=-1/2代入即可

Answer 2

考虑幂级数∑(∞,n=1)n(n+1)x^n,
它的收敛区间为(-1,1),
设其和函数为S(x),
则S(x)=∑(∞,n=1)n(n+1)x^n
=x(∑(∞,n=1)x^(n+1))′
=x(x²/(1-x))″
=2x/(1-x)³.
故
∑(∞,n=1)
n(n+1)/2^n
=S(1/2)
=(2*1/2)/(1-1/2)³
=8.