Question

72阶加法群是循环群吗

Answer 1

答案一：是循环群当且仅当
中有一个元素的阶等于群
的阶
命题2 群
的运算为乘法，设
中元素
的阶为
则对于正整数
有

命题3 群
的运算为乘法，设
中元素
的阶为
，则
有

命题4 群
中，若
的阶分别为
且
则
的阶等于

命题5 设
是有限
群，则
中有一个元素的阶是其他元素的阶的倍数
定理1 设
是有限
群，如果对于任给的正整数
方程
在
中的解的个数不超过
，那么
是循环群
定理2 有限域
的所有非零元组成的集合
对于乘法成为一个群，且
是循环群
定理3 设
是大于1的整数，则
为循环群当且仅当
为下列情形之一：
其中
是奇素数，

命题6 设
是
到
的一个群同构映射，则
(1)
其中
是
的单位元
(2)

(3)a与
或者同为无限阶元素，或者它们的阶相同
定理4 (1)任意一个无限循环群都与
同构
(2)对于
任意一个
阶循环群都与
同构
(3)1阶循环群都与加法群
同构
定理5 设
都是大于1的整数，则
是循环群当且仅当
与
互素
例题
1.4.1证明
定理：若
是正整数，
是与
互素的整数，则
其中
是
函数，即
是与
互素的不超过
的正整数的个数。
特别的，若
是素数，则得到
小定理：

1.4.3群
没有非平凡子群的充分必要条件是
或是素数阶循环群
1.4.6如果有限群
有唯一的极大子群，则
是素数幂阶循环群
1.4.7举一个无限群的例子，它的任意阶数不为1的子群都具有有限指数
1.4.8设
是一个素数，
则
对于复数的乘法作成群。试证
的任意真子群都是有限阶的循环群。
1.4.9若群
只有有限多个子群，则
是有限群
1.4.10有理数加法群
不是循环群，但它的任意有限生成的子群都是循环群。
1.4.11在
阶循环群
中，对
的每一个正因子
阶为
的元恰好有
个，其中
是与
互素且不超过
的正整数的个数，由此证明等式

1.4.12设
是一个
阶有限群，若对
的每一个因子
，
中之多只有一个
阶子群，则
是循环群。
1.4.13群
是循环群当且仅当
的任一子群形如
其中
是非负整数。
答案二：在陈松良等人的《关于72阶群的同构分类》一文中证明了G72共有50=10+4+32+4种不同构的类型:若Sylow子群都正规,则G72有10种;若Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规,则G72有4种;若Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规,则G72有32种;若Sylow子群都不正规,则G72有4种。
20151101猜想：对任意n，(Z/nZ)^*≠C24 x C3。
互不同构的72阶交换群共有6个：
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(3),CyclicGroup(24));;IdGroup(G);StructureDescription(G);
[ 72, 14 ]
"C24 x C3"
gap> n:=72;;for i in [n..600] do Ui:=Units(Integers mod i);;gid:=IdGroup(Ui);if n=gid[1] then Print(i,":",gid,"\n");fi;od;
73:[ 72, 2 ]
gap> G:=CyclicGroup(72);;IdGroup(G);StructureDescription(G);
[ 72, 2 ]
"C72"
91:[ 72, 36 ]
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(6),CyclicGroup(12));;IdGroup(G);StructureDescription(G);
[ 72, 36 ]
"C12 x C6"
95:[ 72, 9 ]
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(36));;IdGroup(G);StructureDescription(G);
[ 72, 9 ]
"C36 x C2"
111:[ 72, 9 ]
117:[ 72, 36 ]
135:[ 72, 9 ]
146:[ 72, 2 ]
148:[ 72, 9 ]
152:[ 72, 18 ]