Question

在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin²A=sin²B+sin²C，试判断△ABC的形状

Answer 1

一 根据已知条件 sinA=2sinBcosC，
∵ sinA=sin(180-(B+C))=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

∴ 根据已知，有 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC；
得出 cosBsinC=sinBcosC,即 B=C,三角形为等腰三角形。
二 根据已知条件 sin²A=sin²B+sin²C，
∵ B=C,

∴ sin²A=2sin²B=2sin²C，

∴sin²A/sin²B=2,

∴sinA/sinB=√2，

∴sinA=√2sinB=√2sinC;
得出A=90°，B=C=45°。
三角形为等腰直角三角形。

Answer 2

因为sinA^2=sinB^2+sinC^2。所以，a^2=b^2+c^2。
因为sinA=2sinBsinC。所以，a/2R=(2b*cosc)/2R。消去2R。
得：a=2bcosC。即：cosC=a/2b。
余弦定理：cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
所以联立上面两式，2ba^2=2b(a^2+b^2-c^2)。
化简：4bc^2=2ba^2。2c^2=a^2。
因为已经得出a^2=b^2+c^2
所以把a^2换成2c^2。
2c^2=b^2+c^2
b^2=c^2 即b=c
所以是等腰三角形。