Question

椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60度角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为

Answer 1

椭圆的两个焦点和短轴两个顶点是一个含60°角的菱形的四个顶点
有两种情况：
①以焦点为顶点的内角为120度，则b/c=tan60=√3==>b=√3c
A^2-b^2=c^2==>a^2=4c^2==>c/a=1/2=e
∴椭圆的离心率e=1/2
②以焦点为顶点的内角为60度，则b/c=tan30=√3/3==>b=√3/3c
A^2-b^2=c^2==>a^2=4/3c^2==>c/a=√3/2=e

∴椭圆的离心率e=1/2 或e=√3/2

Answer 2

假设焦点在x轴
左焦点是F，上顶点是B
则 OF=c，OB=b
则FB=√(b²+c²)=a
所以e=c/a=OF/FB=cos角BFO
显然角BFO=30度或60度
所以e=√3/2或1/2

Answer 3

1/2或√3/2