Question

已知函数f(x)=根号3*sinx*cosx-cosx*cosx+1/2 (x属于R）

已知函数f(x)=根号3*sinx*cosx-cosx*cosx+1/2 (x属于R）
（1）求函数f(x)的最小正周期
（2）求函数f(x)在区间[0,π/4]上的值域

Answer 1

解：（1）f(x)＝. 2sinx 3 (sinx−cosx) sinx+cosx cosx . ＝sin2x+ 3 cos2x＝2sin(2x+π 3 )…（3分）
所以函数f（x）的最小正周期为π…（3分）
（2）y＝f(x−π 2 )＝2sin[2(x−π 2 )+π 3 ]＝2sin(2x−2π 3 )…（2分）
∵x∈[0，π 2 ]，∴−2π 3 ≤2x−2π 3 ≤π 3 ，−1≤sin(2x−2π 3 )≤ 3 2 …（2分）
∴y∈[−2， 3 ]．…（2分）
另解：y＝f(x−π 2 )＝2sin[2(x−π 2 )+π 3 ]＝2sin(2x+π 3 −π)＝−2sin(2x+π 3 )…（2分）
∵x∈[0，π 2 ]，∴π 3 ≤2x+π 3 ≤4π 3 ，− 3 2 ≤sin(2x+π 3 )≤1…（2分）
∴−2≤−2sin(2x+π 3 )≤ 3 ，即y∈[−2， 3 ]．…（2分）

Answer 2

f(x)=(√3)/2sin2x-1/2cos2x=sin2x*cos(π/6)-cos2x*sin(π/6)=sin(2x-π/6)
故：
（1）函数f(x)的最小正周期是π。
（2）∵x∈[0,π/4],∴(2x-π/6)∈[-π/6,π/3],∴sin(2x-π/6)∈[-1/2,√3/2]。
既函数f(x)在区间[0,π/4]上的值域是[-1/2,√3/2].