Question

函数图象对称与函数的周期性

设函数f(x)在R上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0.
(1)是判断y=f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论。

Answer 1

1.我觉得函数既不是奇函数也不是偶函数
若它为奇函数，f(0)=0 但在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0.
f(0)不为0
若它为偶函数，则x=0为对称轴，但x=0不是对称轴
理由如下，可能有点零碎
f(2-x)=f(2+x) f(2+x-2)=f(2-（x-2)) f(x)=f(4-x)
f(7-x)=f(7+x),同理，可化为f(x)=f(14-x)
f（x)=f(4-x)=f(14-x) f(x）=f(x+10)
所以，f(x)周期为10
只可以证x=5k+2是对称轴(k为整数）
f(x)=f(x+10)=f(x+10k)
f(4-x)=f(x+10k) f(x)= f(4-x+10k)
f(2+5k-x)=f(2+5k+x) x=5k+2是对称轴
x=2是对称轴
f(6)=f(-2) f(5)=f(-1) f(5)不为0 f(-1)不为0
f(1)=0 f(1)不等于f(-1) 又可说明x=0不是对称轴
2.f(x)周期为10
闭区间[-2005,2005]，可看成401个周期加一个2005
每个周期即【-5,4】 x=-3为对称轴，f(-5)=f(5)
f(-4)=f(6) f（-3）=f(7) f(6)=f(-2) f(5)=f(-1) 均不为0
【-5,4】只f(1)f(3)为0
f(2005)=f(5)不为0 f(x)=0有401*2=802个根

我表达不好，都写了出来。让你看吃力了
可能题目有问题，第1小题不会非奇非偶