设点P为△ABC内一点，∠PBA=10°，∠BAP=20°，∠PCB=30°，∠CBP=40°，求证：△ABC是等腰三角形. 10
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证明 ：
BC为边向上做正三角形BCB’,
连CB', AB', PB'.则PB=PB'.
由∠CBP=40°, ∠CBB'=60°知∠PBB'=20°.
而PB=PB', 所以∠BB'P=∠PBB'=20°=∠BAP.
因此P,A,B',B四点共圆,
于是∠PB'A=∠PBA=10°, 从而∠BB'A=30°.
但由于ΔCBB'为正三角形, 所以B'A为BC的中垂线，
故AB=AC, 即ΔABC是等腰三角形。
BC为边向上做正三角形BCB’,
连CB', AB', PB'.则PB=PB'.
由∠CBP=40°, ∠CBB'=60°知∠PBB'=20°.
而PB=PB', 所以∠BB'P=∠PBB'=20°=∠BAP.
因此P,A,B',B四点共圆,
于是∠PB'A=∠PBA=10°, 从而∠BB'A=30°.
但由于ΔCBB'为正三角形, 所以B'A为BC的中垂线，
故AB=AC, 即ΔABC是等腰三角形。
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