Question

一道数学证明题

正方形ABCD中，P为BC上任意一点，O为OP上一点，过O点作MN∥AD，过O点作直线EF⊥DP交AB于E，DC于F。
1.求EM、NF、和PC的数量关系。
2.若P点在PC的延长线上，其他条件不变，以上结论是否成立，并说明理由。
3.Q为CB的延长线上一点，DQ交AB于E。①当P点在BQ上时②在P点延长线上时分别讨论EM、NF和CP的关系。（这一条没有图）

Answer 1

1、做FH⊥AB，

∵ABCD是正方形，MN∥AD

∴易得：MNFH和BCMN是矩形

∴NF=MH，FH=BC=DC

∵EF⊥DP，那么∠CDP和∠DFO互余

∠DFH=90°，那么∠DFO和∠HFE互余

∴∠CDP=∠HFE

∴RT△DCP≌RT△FHE(ASA)

∴PC=EH=EM+MH=EM+NF

 

2、做FH⊥AB，MN∥AD，

易得：NF=MH，FH=BC=DC

∵EF⊥DP，∠DNO=90°

∴∠CDP+∠DFO=90°

∠DFO+∠MOE=90°

∴∠CDP=∠MOE=∠HFE

∴RT△DCP≌RT△FHE(ASA)

CP=HE

EM=MH+HE=NF+CP

 

3、