Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=（1，1- 3 sinA），n=（cosA，1

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=（1，1- 3 sinA），n=（cosA，1），且m⊥n．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b+c= 3 a，求sin（B+ π 6 ）的值．

Answer 1

（1）由题意知， m ⊥ n ，∴ m ? n =0，即cosA+1- 3 sinA=0．（2分） ∴ 3 sinA-cosA=1，即sin（A- π 6 ）= 1 2 ．（5分） ∵0＜A＜π，∴- π 6 ＜A- π 6 ＜ 5π 6 ，∴A- π 6 = π 6 ，即A= π 3 ．（6分） （2）∵b+c= 3 a，由正弦定理得，sinB+sinC= 3 sinA= 3 2 ．（8分） ∵B+C= 2π 3 ，∴sinB+sin（ 2π 3 -B）= 3 2 ．化简得 3 2 sinB+ 3 2 cosB= 3 2 ， 即sin（B+ π 6 ）= 3 2 ．（12分）