Question

已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n∈N*）．（1）若数列{an}是等差数列，求它的首项和公差；（2）证明：数

已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n∈N*）．（1）若数列{an}是等差数列，求它的首项和公差；（2）证明：数列{an}不可能是等比数列；（3）若a1=-1，cn=an+kn+b（n∈N*），试求实数k和b的值，使得数列{cn}为等比数列；并求此时数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）解：由已知a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
若{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，即4a₁+4=5a₁+7，
得a₁=-3，a₂=-4，故d=-1．   
∴数列{a_n}的首项为-3，公差为-1；  
（2）证明：假设数列{a_n}是等比数列，则有

a

2 2

＝a1a3，
即4(a1+1)2＝a1(4a1+7)，
解得a₁=-4，从而a₂=-6，a₃=-9，
又a₄=2a₃+4=-14．  
数列a₁，a₂，a₃，a₄不成等比数列，与假设矛盾，
∴数列{a_n}不是等比数列；
（3）由题意，对任意n∈N^*，有

cn+1

cn

＝q（q为定值且q≠0），
即

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b

＝q． 
即

2an+n+1+k(n+1)+b

an+kn+b

＝

2an+(k+1)n+k+b+1

an+kn+b

＝q，
于是，2a_n+（k+1）n+k+b+1=qa_n+kqn+qb，
∴

q＝2   k+1＝kq   k+b+1＝qb

?

q＝2   k＝1   b＝2  .

∴当k=1，b=2时，数列{c_n}为等比数列． 
此数列的首项为a₁+1+2=2，公比为q=2，∴an+n+2＝2n

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