Question

变量x、y满足 x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1 ，（1）求z=2x+y的最大

变量x、y满足 x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1 ，（1）求z=2x+y的最大值；（2）设z= y x ，求z的最小值；（3）设z=x 2 +y 2 ，求z的取值范围；（4 ）设z=x 2 +y 2 +6x-4y+13，求z的取值范围．

Answer 1

由约束条件 x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1 ， 作出（x，y）的可行域如图所示． 由 x=1 3x+5y-25=0 ，解得A（1， 22 5 ）． 由 x=1 x-4y+3=0 ，解得C（1，1）． 由 3x+5y-25=0 x-4y+3=0 ，解得B（5，2）．   …．（4分） （1）z max =12…．（7分） （2）∵z= y x ∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率． 观察图形可知z min =k OB = 2 5 ．…．（10分） （3）z=x 2 +y 2 的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min =OC=，d max =OB=．∴2≤z≤29…..（13分） （4）z=x 2 +y 2 +6x-4y+13=（x+3） 2 +（y-2） 2 的几何意义是可行域上的点到点（-3，2）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到（-3，2）的距离中，d min =1-（-3）=4，d max ═8． ∴16≤z≤64…（16分）