Question

已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E

已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．（1）当点E在线段BC上时，求证：BE=CF；（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．

Answer 1

解：（1）连接AC（如图1）．
由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
易得：BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴△ABC是等边三角形．
∴AB=AC．
又∵∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H（如图2）
在Rt△ADH中，∠D=60°，∠DAH=90°-60°=30°，
∴DH＝

1

2

AD＝

1

2

×6＝3.AH＝

AD2?DH2

＝

62?32

＝3

3

．
又CF=BE=x，DF=6-x，
∵S_△ADF=

1

2

DF?AH，
∴y＝

1

2

×(6?x)×(3

3

)，
即y＝?

3 3

2

x+9

3

（0＜x＜6）．

（3）①当点F在CD的延长线上时，
如图3，连接BD，易得∠ADB＝

1

2

∠ADC＝30°．
当四边形BDFA是平行四边形时，AF∥BD．
∴∠FAD=∠ADB=30°．
∴∠DAE=60°-30°=30°，∠BAE=120°-30°=90°．
在Rt△ABE中，