（2013?朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为B
（2013?朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG...
（2013?朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又因为FG?平面PED，PE?平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：
在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE＝
．
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE＝
，
所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得
＝
．
由已知可求得PB＝2
，PF＝
，PC＝2
，所以PM＝
．…（14分）
又因为FG?平面PED，PE?平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：
在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE＝
| 5 |
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE＝
| 5 |
所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得
| PM |
| PB |
| PF |
| PC |
由已知可求得PB＝2
| 3 |
| 3 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
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