Question

（本题满分12分）如图,直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=BB 1 =1，直线B 1 C与平面ABC成30°

（本题满分12分）如图,直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=BB 1 =1，直线B 1 C与平面ABC成30°角，求二面角B-B 1 C-A的正弦值.

Answer 1

解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC 1 B 1 ，过A作AN⊥平面BCC 1 B 1 ，垂足为N，则AN⊥平面BCC 1 B 1 （AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB 1 内过N作NQ⊥棱B 1 C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角. ∵AB 1 在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB， ∴CA⊥B 1 A.AB=BB 1 =1，得AB 1 = . ∵直线B 1 C与平面ABC成30°角，∴∠B 1 CB=30°，B 1 C=2. 在Rt△B 1 AC中，由勾股定理,得AC= .∴AQ=1. 在Rt△BAC中，AB=1，AC= ，得AN= . sin∠AQN= = , 即二面角BB 1 CA的正弦值为 .

略