Question

（2014?松江区三模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，

（2014?松江区三模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点，F是A1C上的点．（1）求异面直线AE与A1C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；（2）若EF⊥A1C，求线段CF的长．

Answer 1

解答：解：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，
即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ．…（2分）
连结E₁C．
在Rt△E₁C₁C中，由E1C1＝

2

2

，CC₁=2
知A1C＝

1 2 +4

＝

3 2

2

在Rt△A₁C₁C中，由A₁C₁=1，CC₁=2知A1C＝

5

…（4分）
在△A₁E₁C中，cosθ＝

( 2 2 )2+( 5 )2?( 3 2 2 )2

2? 2 2 ? 5

＝

1

10

＝

10

10

∴θ＝arccos

10

10

…（6分）
（2）以A为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF的长为x
则各点的坐标为，E(

1

2

，

1

2

，0)，F(0，1?

5

5

x，

2 5

5

x)，A₁（0，0，2），C（0，1，0）…（2分）
∴

EF

＝(?

1

2

，

1

2

?

5

5

x，

2 5

5

x)，

A1C

＝(0，1，?2)
由EF⊥A₁C知

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