Question

已知函数fx=1/2x2-ax +(a-1)lnx,讨论函数fx的单调性

Answer 1

f(x)=(1/2)x²-ax+(a-1)lnx，定义域为x＞0
f'(x)=x-a+[(a-1)/x]=[x²-ax+(a-1)]/x
令g(x)=x²-ax+(a-1)=(x-1)[x-(a-1)]
①当a-1=1，即a=2时，f'(x)=0，单调递增；
②当a-1＞2，即a＞2：
则，x＞a-1，或者0＜x＜1时，g(x)＞0，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
1＜x＜a-1时，g(x)＜0，f'(x)＜0，f(x)单调递减。
③当a-1＜2
……后面略

Answer 2

f'(x)=(lnx-1)/ln²x+a
当x>1时，f'(x)恒大于0
令g(x)=(lnx-1)/ln²x+a
x>1
g'(x)=[2-lnx]/x·ln³x
驻点：x₀=e²
1
0,g(x)单调递增，x>x₀,g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x₀)是最小值
∴g(x)≥(2-1)/4+a
∴当a>-1/4
时，g(x)恒大于0
即实数a的取值范围是a>-1/4