Question

请教几个原函数存在性的问题

设f(x)=-1/x^2 if x≠0；f(x)=0 if x=0。那么f(x)在x=0的某邻域是否存在原函数？设f(x)=sin(1/x) if x≠0；f(x)=0 if x=0。那么f(x)在x=0的某邻域内是否存在原函数？(不要求原函数初等)狄利克雷函数是否在某个区间存在原函数？原函数存在是否有比较简单的充要条件？谢谢

Answer 1

不用谢，相互帮助嘛。。。这方面有些规律的，自己可以证明看看，基本上都是反证法或者特殊反例来证得，总结大致如下（考研数学范围内的结论）：1.函数在[a,b]上有第一类间断点，则f在[a，b]上不存在原函数；2.函数在[a,b]上有无穷型第二类间断点，则f在[a，b]上不存在原函数；函数在[a,b]上有非无穷型第二类间断点，则f在[a，b]原函数存在性不定，比如这个函数：x不等于0时，f（x）=2xsin(1/x)-cos(1/x；x=0时，f（x)=A(常数)，这个函数只有x=0一处非无穷型
第二类间断点，A不等于0是无原函数，可是当A=0时有原函数如下：x不等于0时，f(x)=(x^2)*sin(1/x)
x等于0时
f(x)=0；3.若f在[a，b]不存在原函数，则要么连续，要么[a,b]上的间断点是第二类的；对于原函数存在的函数的可积性：f(x)在[a,b]连续，则它在此区间上可积；f(x)在[a,b]不连续，那么即使在此区间上它存在原函数F（x），也未必可积，如黎曼函数（见百度百科）在无理数点连续，在有理数点不连续，在[0,1]可积，但它没有原函数（不具有介值性）因此，函数的可积性和原函数存在是两个不同的概念，可积函数可能有原函数，可能没有；原函数存在函数，可能可积，可能不可积
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