Question

在过直线 x+y+z+1=0 2x+y+z=0 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.

Answer 1

在过直线L： x+y+z+1=0........①； 2x+y+z=0............② 的所有平面中，求和原点距离最大
的平面.
解：过直线L的平面束方程为：x+y+z+1+λ(2x+y+z)=0
即(1+2λ)x+(1+λ)y+(1+λ)z+1=0.............③，这是过直线L的所有平面的方程；
平面束中所有平面到原点(0，0，0)的距离d:
d=∣1/√[(1+2λ)²+(1+λ)²+(1+λ)²∣=∣1/√(6λ²+8λ+3)∣=∣1/√[6(λ+2/3)²+1/3]
显然，当λ=-2/3时获得d的最大值=1/√(1/3)=√3；将λ=-2/3代入③式即得与原点距离最大
的平面的方程：(1-4/3)x+(1-2/3)y+(1-2/3)z+1=0; 即-(1/3)x+(1/3)y+(1/3)z+1=0;
化简得 x-y-z-3=0 即为所求。

Answer 2

当所求平面和原点距离最大时，
过原点且与已知直线垂直相交的直线是该平面的法线。
直线方程化为 (x-1)/0＝(y＋1)/1＝(z＋1)/(-1)，
设上式为 t，则可得
x＝1，y＝ - 1＋t，z＝ - 1 - t，
直线方向向量为 (0，1，-1)，
所以 0*1＋1*(-1＋t)＋(-1)*(-1-t)＝0，
解得 t＝0，
所以垂足(1，-1，-1)，平面法向量(1，-1，-1)，
所求平面方程为 (x-1) - (y＋1) - (z＋1)＝0，
化简得 x-y-z-3＝0。

Answer 3

直线l: x+y+z+1=0 ，2x+y+z=0即(x-1)/0=y=(z+2)/(-1),
它的方向向量为a=(0,1,-1),
设过直线l的平面π的法向量为b=(1,m,n),则
ab=m-n=0,n=m,
所以平面π的方程为x-1+my+m（z+2)=0,即x+my+mz+2m-1=0,①
它与原点的距离d=|2m-1|/√(1+2m^2)
=(2m-1)/√(2m^2+1),m>=1/2;
-(2m-1)/√(2m^2+1),m<1/2.
d'=[2√(2m^2+1)-2m(2m-1)/√(2m^2+1)]/(2m^2+1)
=[2(2m^2+1)-4m^2+2m]/(2m^2+1)^(3/2)
=2(m+1)/(2m^2+1)^(3/2)>0(m>=1/2),
d是增函数，无最大值；
d'=-2(m+1)/(2m^2+1)^(3/2),
-1<m<1/2时d'<0,d是减函数；m<-1时d'>0,d是增函数，
所以m=-1时d取最大值，
由①，所求平面方程是x-y-z-3=0.