Question

（1997?海南）如图，在直角坐标系xOy中，点A、B在x轴上，以AB为弦的⊙O与y轴相切于E点，E点的坐标为（0，

（1997?海南）如图，在直角坐标系xOy中，点A、B在x轴上，以AB为弦的⊙O与y轴相切于E点，E点的坐标为（0，2），AE的长为5．（1）求A、B两点的坐标；（2）若D点的坐标为（0，-8），抛物线y=ax2+bx+c过D、A、B三点，求这抛物线的解析式；（3）证明上述抛物线的顶点在⊙C上．

Answer 1

解：（1）∵E（0，2），
∴|OE|=2，
又∵|AE|=

5

，
∴|OA|=1，
∵A点在x轴上，
∴A（1，0），
∵E是⊙C的切点，由切割线定理知|OE|2=|OA|?|OB|，
∴|OB|=4，
∵B点在x轴上，
∴B（4，0），即所求A，B两点的坐标分别为（1，0），（4，0）；

（2）设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）（a≠0），
把D（0，-8）代入上式，解得a=-2．
故所求抛物线的解析式为y=-2x²+10x-8；

（3）∵y=-2x²+10x-8=-2（x-

5

2

）²+

9

2

，
∴抛物线的顶点坐标为P（

5

2

，

9

2

），
作AB的中垂线MN，与⊙C在第一象限相交于点M，与x轴相交于点N，则MN必过圆心C，且|ON|=

5

2

，连接CE，
∵E是切点，
∴CE是⊙C的半径，且CE⊥y轴，
∴四边形ONCE是矩形，
∴|EC|=|ON|=

5

2

，|NC|=|OE|=2，
又∵CM是⊙C的半径，
∴|CM|=|EC|=

5

2

，
∴|MN|=

9

2

，
∴M点的坐标为（

5

2

，

9

2

）
∴点M与点P的坐标相同，即这两点重合．
∴抛物线的顶点在⊙C上．