Question

设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{an}的一个通项公

设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{an}的一个通项公式并证明你的结论．

Answer 1

（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
（1）用数学归纳法证明
①由a₁=2=1+1知n=1时，a_n=n+1成立
设n=k（k属于正整数）时a_n=n+1成立，即a_k=k+1
则当n=k+1时，因为a_n+1=a_n²-na_n+1，
所以a_k+1=a_k²-k（k+1）+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k²+2k+1-k²-k+1=k+2
综上，a_n=n+1成立