Question

（2008?武昌区模拟）如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M

（2008?武昌区模拟）如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角N-CM-B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

（1）证明：取AC的中点D，连结SD、DB，
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD，AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
∵SB?平面SDB，
∴AC⊥SB；
（2）解：∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC，
过N点作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E点作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，
∵NE=

1

2

SD=

2

，EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

＝2

2

，∴∠NFE＝arctan2

2

（3）解：在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

＝

3

2

，
S△CMN＝

1

2

CM?NF＝

3 3

2

，S△CMB＝

1

2

BM?CM＝2

3