Question

已知数列{an}中，a1=2，n∈N*，an＞0，数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1=2Sn+1+Sn?2．（1）求{Sn}的通

已知数列{an}中，a1=2，n∈N*，an＞0，数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1=2Sn+1+Sn?2．（1）求{Sn}的通项公式；（2）设{bk}是{Sn}中的按从小到大顺序组成的整数数列．①求b3；②存在N（N∈N*），当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项，求N的范围．

Answer 1

（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；
即（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2，
∴（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，
∴{（S_n-1）²}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴S_n=1+

2n?1

．
（2）①n=1时，S₁=1+1=2=b₁，n=5时，S₅=1+3=4=b₂，n=13时，S₁₃=1+5=6=b₃．
②∵2n-1是奇数，S_n=1+

2n?1

为有理数，则

2n?1

=2k-1，
∴n=2k²-2k+1，
当k=20时，n=761；当k=21时，n=841；
∴存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项．