Question

已知圆C过两点A（1，-1），B（2，-2），且圆心C在直线2x-y-4=0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是直线3x-4

已知圆C过两点A（1，-1），B（2，-2），且圆心C在直线2x-y-4=0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是直线3x-4y-5=0上的动点，PM，PN是圆C的两条切线，切点分别为M，N，求四边形PMCN面积的最小值．

Answer 1

（1）设圆心坐标为（a，2a-4），则 ∵圆C过两点A（1，-1），B（2，-2）， ∴ (a-1 ) 2 +(2a-3 ) 2 = (a-2) 2 + (2a-2) 2 ∴a=1，∴圆心坐标为（1，-2）圆的半径为1 ∴圆C的方程为（x-1） 2 +（y+2） 2 =1； （2）由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N， 可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM=1， 显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小 ∵P是直线3x-4y-5=0上的动点， ∴PC 最小值 = |3+8-5| 9+16 = 6 5 ， ∴PM 最小值 = 36 25 -1 = 11 5 ∴四边形PMCN面积的最小值为 2× 1 2 × 11 5 ×1 = 11 5 ．