已知：如图1，抛物线C1：y＝13(x?m)2+n（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y＝?13(x+m)2?n的
已知：如图1，抛物线C1：y＝13(x?m)2+n（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y＝?13(x+m)2?n的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、...
已知：如图1，抛物线C1：y＝13(x?m)2+n（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y＝?13(x+m)2?n的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，若抛物线y＝13(x?m)2+n （m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；（3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1：3 的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
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（1）四边形ABCD是平行四边形，
∵A（m，n ），C（-m，-n ），
∴点A与点C关于原点对称．
∴点O、A、C三点在同一条直线上，
∴OA=OC．
∵B(0，
m2+n)，D(0，?
m2?n)，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵抛物线y＝
(x?m)2+n(m＞0)的顶点A落在x轴上，
∴n=0．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即
m2＝m，
解得：m1=0（不符题意，舍去），m2=3．
此时四边形ABCD是正方形
∴m=3，n=0．
（3）若四边形ABCD是矩形，
则OA=OB，即(
m2+n)2＝m2+n2，
化简得：
m4+
m2n＝m2
∵m＞0，
∴m2+6n=9
又∵矩形的邻边之比为1：
，
当AB：AD=1：
时，∠ABO=60°，
过点A作AH⊥BD于H，则BH=
m，
∴
m+n＝
m2+n，
∴
，
解得：
当AD：AB=1：
时，∠ABO=30°，
过点A作AH⊥BD于H，则BH=
m，
∴
，
解得：
∵A（m，n ），C（-m，-n ），
∴点A与点C关于原点对称．
∴点O、A、C三点在同一条直线上，
∴OA=OC．
∵B(0，
| 1 |
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| 1 |
| 3 |
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵抛物线y＝
| 1 |
| 3 |
∴n=0．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即
| 1 |
| 3 |
解得：m1=0（不符题意，舍去），m2=3．
此时四边形ABCD是正方形
∴m=3，n=0．
（3）若四边形ABCD是矩形，
则OA=OB，即(
| 1 |
| 3 |
化简得：
| 1 |
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| 3 |
∵m＞0，
∴m2+6n=9
又∵矩形的邻边之比为1：
| 3 |
当AB：AD=1：
| 3 |
过点A作AH⊥BD于H，则BH=
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| 3 |
∴
| ||
| 3 |
| 1 |
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∴
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解得：
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当AD：AB=1：
| 3 |
过点A作AH⊥BD于H，则BH=
| 3 |
∴
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解得：
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