Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当 x= π 6 时，y取最小值

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当 x= π 6 时，y取最小值-3；当 x= 2π 3 时，y最大值3．（I）求f（x）的解析式； （II）求f（x）在区间 [ π 2 ，π] 上的最值．

Answer 1

（I）∵在一个周期内，当 x= π 6 时，y取最小值-3；当 x= 2π 3 时，y最大值3． ∴ A=3， T 2 = 2π 3 - π 6 = π 2 ， ∴T=π，ω=2， ∴f（x）=3sin（2x+?），（3分） 由当 x= 2π 3 时，y最大值3得 sin( 4π 3 +φ)=1， 4π 3 +φ=2kπ+ π 2 (k∈Z) ， φ=2kπ- 5π 6 ， ∵|φ|≤π， ∴ φ=- 5 6 π ∴ f(x)=3sin(2x- 5π 6 ) ．（6分） （II）∵ x∈[ π 2 ，π] ， ∴ π 6 ≤2x- 5π 6 ≤ 7π 6 （8分） ∴当 x= 2π 3 时，f（x）取最大值3；（10分） 当 x= 7π 6 时，f（x）取最小值 - 3 2 ．（12分）