Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当x＝π6时，y取最小值-3；当x＝2π3

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当x＝π6时，y取最小值-3；当x＝2π3时，y最大值3．（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）在区间[π2，π]上的最值．

Answer 1

（I）∵在一个周期内，当x＝

π

6

时，y取最小值-3；当x＝

2π

3

时，y最大值3．
∴A＝3，

T

2

＝

2π

3

?

π

6

＝

π

2

，
∴T=π，ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+?），（3分）
由当x＝

2π

3

时，y最大值3得sin(

4π

3

+φ)＝1，

4π

3

+φ＝2kπ+

π

2

(k∈Z)
，φ＝2kπ?

5π

6

，
∵|φ|≤π，
∴φ＝?

5

6

π
∴f(x)＝3sin(2x?

5π

6

)．（6分）
（II）∵x∈[

π

2

，π]，
∴

π

6

≤2x?

5π

6

≤

7π

6

（8分）
∴当x＝

2π

3

时，f（x）取最大值3；（10分）
当x＝

7π

6

时，f（x）取最小值?

3

2

．（12分）