Question

设椭圆x2m+1+y2＝1的两个焦点是F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF

设椭圆x2m+1+y2＝1的两个焦点是F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直．（I）求实数m的取值范围．（II）设l是相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于点Q．若|QF2||PF2|＝2?3，求直线PF2的方程．

Answer 1

（1）∵直线PF₁⊥直线PF₂
∴以O为圆心以c为半径的圆：x²+y²=c²与椭圆：

x2

m+1

+y2＝1有交点．即

x2+y2＝c2 x2 m+1 +y2＝1

有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴0≤x2＝

m2?1

m

＜a2＝m+1
∴m≥1
（2）设P（x，y），直线PF₂方程为：y=k（x-c）
∵直线l的方程为：x＝

a2

c

＝

m+1

m

准线L的方程为x=

m+1

m

，
设点Q的坐标为（x₁，y₁），则x₁=

m+1

m

，

|QF2|

|PF2|

-

x1?c

c?x0

=m+

m2?1

=2-

3

  ②

解可得m=2，从而x₀=-

3

2

，y₀=±

2

2

，c=

2

，
得到PF₂的方程y=±（

3

-2）（x-

2

）