Question

将函数f(x)=ln(2+x)展开成x的幂级数不同展开方法结果不一样?!!!

Answer 1

第一种做法：
f
'(x)=1/(2+x)=(1/2)Σ(-1)ⁿ(x/2)ⁿ
两边从0到x积分得：
f(x)-f(0)=Σ[(-1)ⁿ/(n+1)](x/2)^(n+1)
你在做积分时漏了f(0)
f(x)=f(0)+Σ[(-1)ⁿ/(n+1)](x/2)^(n+1)
这里的f(0)就是ln2，被你丢了。
第二种做法中，由于你是对ln[1/(1+x/2)]做的展开，设该函数为g(x)，由于g(0)刚好为0，因此你的这个错误被掩盖了。
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

Answer 2

泰勒展开式是将函数表示为其各阶导数与相应幂级数乘积之和，只含导数和幂级数，是不含积分式的确定的函数。
设1/(1+(x/2))的泰勒展开式是T(x)；
第一种展开方法：f'(x)=(1/2)*[1/(1+x/2)]=(1/2)*T(x)，
∫(1/2)*T(x)dx=∫f‘(x)dx=f(x)+C1
第二种展开方法：ln2-∫{[ln(1/(1+x/2))]'}dx=ln2+∫(1/2)*[1/(1+x/2)]dx=ln2+∫(1/2)*T(x)dx
＝按第一种推导回去＝ln2+∫f'(x)dx=ln2+[f(x)+C2]=f(x)+(C2+ln2)；
要得到某一具体的原函数，定积分式C1和C2该取多少呢？，为什么不取C1=ln2呢而应取C1=0呢？

Answer 3

你好！
泰勒展开式是将函数表示为其各阶导数与相应幂级数乘积之和，只含导数和幂级数，是不含积分式的确定的函数。
设1/(1+(x/2))的泰勒展开式是T(x)；
第一种展开方法：f'(x)=(1/2)*[1/(1+x/2)]=(1/2)*T(x)，
∫(1/2)*T(x)dx=∫f‘(x)dx=f(x)+C1
第二种展开方法：ln2-∫{[ln(1/(1+x/2))]'}dx=ln2+∫(1/2)*[1/(1+x/2)]dx=ln2+∫(1/2)*T(x)dx
＝按第一种推导回去＝ln2+∫f'(x)dx=ln2+[f(x)+C2]=f(x)+(C2+ln2)；
要得到某一具体的原函数，定积分式C1和C2该取多少呢？，为什么不取C1=ln2呢而应取C1=0呢？
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