Question

求解大一数学分析证明题

我是一大一学生，专业为信息与计算科学，向各位网友求解一道数学分析的证明题。证明：x为无理数，a为有理数，（1）证明x+a为无理数；（2）证明x*a为无理数

Answer 1

"a为有理数" 的一个充要条件为 a可表示为 a=M/N , 其中M,N(N≠0)为整数

1)假设x+a为有理数
则x+a可表示为 x+a=P/Q=x+M/N (P,Q(Q≠0)为整数)
则x=P/Q-M/N=(NP-MQ)/(NQ)
由于(NP-MQ)和(NQ)为整数 , 所以x为有理数 , 与x为无理数矛盾
所以x+a为无理数

2)假设x×a是有理数
i)当a=0时 , x×a=0 , 为有理数
ii)当a≠0时
则x×a可表示为 x×a=P/Q=x×(M/N) (P,Q(PQ≠0)为整数)
则x=(NP)/(MQ)
由于(NP)和(MQ)为整数 , 所以x为有理数 , 与x为无理数矛盾
所以x×a为无理数

Answer 2

假设c=x+a为有理数
则x=c-a
两个有理数的差依然是有理数，所以x是有理数
矛盾

假设xa=k是有理数
则x=k/a(n≠0)是有理数
矛盾
所以xa是无理数

Answer 3

一楼你貌似循环证明了。
二楼思路是正确的。。。。