大一数学分析，证明第二题，谢谢
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令
t
=
n^(1/n)
-
1
，由
n^(1/n)
>
1
，可得：t
>
0
；
则有：n
=
(1+t)^n
=
1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n
>
n(n+1)t^2/2
，
可得：t^2
<
2/(n+1)
；
所以，0
<
t
<
√[2/(n+1)]
，
即有：0
<
n^(1/n)
-
1
<
√[2/(n+1)]
只要：
√[2/(n+1)]<ε或n>2/ε^2
所以：取n=[2&花订羔寡薏干割吮公经#47;ε^2],则当n>n时
n^(1/n)-1<ε
limn^(1/n)=1
t
=
n^(1/n)
-
1
，由
n^(1/n)
>
1
，可得：t
>
0
；
则有：n
=
(1+t)^n
=
1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n
>
n(n+1)t^2/2
，
可得：t^2
<
2/(n+1)
；
所以，0
<
t
<
√[2/(n+1)]
，
即有：0
<
n^(1/n)
-
1
<
√[2/(n+1)]
只要：
√[2/(n+1)]<ε或n>2/ε^2
所以：取n=[2&花订羔寡薏干割吮公经#47;ε^2],则当n>n时
n^(1/n)-1<ε
limn^(1/n)=1
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