Question

点p是曲线y=x2-lnx上一点,则p到直线y=x-2的距离的最小值是

Answer 1

对数有意义，真数>0
x>0，函数定义域为(0，+∞)
设点P坐标(x，x²-lnx)
由y=x-2得：x-y-2=0
d=|x-(x²-lnx)-2|/√[1²+(-1)²]
=|x²-x-lnx+2|/√2
令g(x)=x²-x-lnx+2，(x>0)
g'(x)=2x-1- 1/x=(x-1)(2x+1)/x
令g'(x)≤0，得：(x-1)(2x+1)/x≤0
0<x≤1
g(x)在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增
x=1时，g(x)取得最小值，g(x)min=g(1)=1²-1-ln1+2=2>0
dmin=|2|/√2=√2
点P到直线距离的最小值是√2

Answer 2

供参考。