Question

在三角形ABC中，B=60度，AC=根号3，则AB+2BC的最大值是多少

Answer 1

答案如图：

Answer 2

最大值为2√7≈5.29。
已知△abc中b=60°，b=√3，那么外接圆直径2r=√3/sin60°=2，设a=60°+α，则c=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α）+4sin(60°+α）
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α），其中sinβ=3√3/2√7；而cosβ=1/2√7。
故ab+2bc的最大值是2√7。

Answer 3

B=60°
A+C=180°-B=120°
A=120°-C属于（0，120°）
AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB=√3/(√3/2)
=
2
AB=2sinC
BC=2sinA=2sin(120°-C)
AB+2BC
=
2sinC
+
4sin(120°-C)
=
2sinC
+
4(sin120°cosC-cos120°sinC)
=
2sinC
+
4(√3/2cosC+1/2sinC)
=
2sinC
+
2√3cosC
+
2sinC
=
4sinC
+
2√3cosC
令cost=2/√7，sint=√3/√7
原式
=
2√7(sinCcost+cosCsint)
=
2√7sin(C+t)≤2√7
最大值2√7

Answer 4

先了解两个公理
1、正弦定理
ab/sinc=bc/sina=ac/
sinb
2、若a/b=c/d
则
a/b=c/d=(a+c)/(b+d)=(a+2c)/(b+2d)
(任意比例变化多可以)
接下来解题
由
ab/sinc=bc/sina=ac/
sinb可得
(
ab+2bc)/(sinc+2sina)=ac/sinb=2
(代入sinb和ac的值)
∴ab+2bc=2（sinc+2sina）
又a+c=180°-b=120°
∴sinc=sin(120°-a)=√3/2*cosa-1/2*sina
∴ab+2bc=2(2sina+√3/2*cosa-1/2*sina)=3sina+√3cosa=2√3(√3
/2sina+1/2cosa)=2√3sin(a+30°)
当sin(a+30°)=1
即a=60°时
ab+2bc取最大
此时
ab+2bc=2√3
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