Question

高数题 设曲线f(x)=x^n在点（1,1）处的切线与x轴的交点为（ξn，0） 求limn趋近于无穷大f(ξ)

Answer 1

解：因为 f (x) =x^n,
所以 f '(x) =n *x^(n-1).

所以 曲线 f (x) =x^n 在点(1,1) 处的切线斜率为
k =f '(1) =n.

所以 所求切线方程为
y -1 =n (x -1),
即 y =nx -n +1.

因为 切线与x轴的交点为 (tn ,0),
所以 0 =n *tn -n +1,
解得 tn =(n -1)/n

所以 lim (n→∞) f(tn) =lim (n→∞) [ (n-1) /n ]^n
=1 /lim (n→∞) [ 1 +1/(n-1) ]^n
=1 /lim (n→∞) [ 1 +1/(n-1) ]^(n-1) *lim (n→∞) [ 1 +1/(n-1) ]
=1/e.

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示