Question

已知正整数a，b，c满足不等式a² +b² +c² ＜ab+3b+2c - 3，问能否以a，b，c为边作出三角形

已知正整数a，b，c满足不等式a² +b² +c² ＜ab+3b+2c - 3，问能否以a，b，c为边作出三角形，试说明理由

Answer 1

a² +b² +c² ＜ab+3b+2c - 3
a² +b² +c² -(ab+3b+2c - 3)<0
(a²-ab+b²/4)+3(b²/4-b+1)+(c²-2c+1)-1<0
(a-b/2)²+3(b/2-1)²+(c-1)²<1
a，b，c均为正整数
可得(c-1)²<1,
c=1
(b/2-1)²<1/3,
b=1,2,3
b=1或3时,(a-b/2)²<1/4,正整数a不存在
b=2时,a=1
1+1=2,a+c=b,
所以,不能组成三角形.

Answer 2

移项配方得：（a-b/2）^2+(c-1)^2+3(b/2-1)^2<1,故有
-1<a-b/2<1;-1<c-1<1;-3分之根号3<b/2-1<分之根号3
得到c=1，b=1,2,3；b=1时a=1；b=2时，a=1；b=3时,a=1or2，
只有a=b=c=1的时候能构成三角形，但是此时经过验证a=b=c=1不满足原不等式
所以不能以abc为边作出三角形。