Question

求解一道高二的数学题

数列{1/n(n+1)}的前n项和Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/n(n+1),研究下能否找到求Sn的一个公式,你能对此问题推广吗?（求详细解答过程,谢谢！）

Answer 1

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/n(n+1)
=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
=1/1-1/(1+n)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
推广就是裂项相消。
推广：an=1/n(n+k)=1/k[1/n-1/(n+k)]
Sn=1/k[1-1/(n+k)]

Answer 2

∵1/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)

∴Sn=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1) (中间的项都抵消掉了。。）
推广：
若数列通项公式为1/(n+a)*(n-a),就可以把通项分成(1/2a)[1/(n+a)-1/(n-a)],(提取的公因式为两项分母之差的倒数，即n+a-n+a=2a，提取1/2a）
那么Sn=(1/2a)[1-1/(n-a)]

例如求Sn=1/1*3+1/3*5+…+1/(2n-1)*(2n+1)
=(1/2)[1-1/(2n+1)]

Answer 3

S(n)-S(n-1)=1/n-1/(n+1)
S(n-1)-S(n-2)=1/(n-1)-1/n
.............
S3-S2=1/3-/4
S2-S1=1/2-1/3
S1=1/2
累加后得：S(n)=S1+1/2-1/(n+1)=n/(n+1);
over
上面两位貌似错了 带入S2就知道了