Question

指数函数题：若函数y=a^2x+2a^x－1（a＞0且a不等于1）在x∈【－1，1】上的最大值为14，求a的值。

Answer 1

令t=a^x>0，则函数可写成y=t^2+2t-1=(t+1)^2-2
对称轴t=-1，最大值在区间的右端点取到
x∈[-1，1]，若a>1，则t∈[1/a，a]
ym=(a+1)^2-2=14，a=3
若0<a<1,则t∈[a，1/a]
ym=(1/a+1)^2-2=14，a=1/3
∴a=3或a=1/3

Answer 2

y=a^2x+2a^x-1=(a^x+1)^2-2
a^x>0 a^x+1恒>1
0<a<1时，a^x单调递减,a^x+1单调递减，当x=-1时ymax=(1/a+1)^2-2=14
a=1/3
a>1时，a^x单调递增。a^x+1单调递增,当x=1时，ymax=(a+1)^2-2=14
a=3

a=1/3或a=3

Answer 3

原式可化为y=(a^x)^2+2a^x+1-2,所以y=(a^x+1)^2-2，ymax=14=(a^x+1)^2-2
由于指数函数不是单调递增就是单调递减
当a<1时，a^x单调递减，所以x=-1时，a=1/3
当a>1时，a^x单调递增，所以x=1时，a=3