Question

一道中学的韦达定理数学题

已知3-根号2是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。（用韦达定理做）

Answer 1

1. 由韦达定理得
x1+x2=-2（m+2） ①
x1*x2=m²-5 ②
所以x1²+x2²=①²-2②=2m²+16m+26 ③
又因为这两个根的平方和比这两个根的积大16
所以 ③-②=16
所以 m²+16m+31=16
求得m1=-15 m2=-1
检验符合 x=-15时，原式无实数根，不合题意
x=-1时，原式有两实数根。符合题意。
所以m=-1

2. Δ=4k²-20k+25 恒大于等于 0 所以恒有两根
①.因为有两个正根
所以 x1+x2=2k-3>0 x1*x2=2k-4>0
所以 k>2.

②.因为有两个异号根，并且正跟的绝对值较大，
所以 x1+x2=2k-3>0 x1*x2=2k-4<0
所以 1.5<k<2

③.一根大于3，一根小于3， 由Δ得 k≠5/2
由题得 x=3时，方程必小于0
所以 9-6k+9+2k-4<0 所以 k>7/2
综上 k>7/2

3.
① 1.m=-2时，为一元一次方程，所以必有实数根。
2.m≠-2时 为一元二次方程
所以Δ=5m²-4（m+2）（m-3）=m²+4m+4+20≥20
所以必有实数根
综上 原方程必有实数根

② 方程有两个实数根 所以为一元二次方程
x1+x2=（根号（5）m）/(m+2) ①
x1*x2=(m-3)/(m+2) ②
①²-2② 得
m=0
代入方程 成立
所以 m=0。

Answer 2

因为两根积x1*x2=7
所以x2=7/(3-根号2)=3+根号2

两根和为x1+x2=3+根号2+3-根号2=6=-M
M=-6

Answer 3

在x^2+mx+7＝0中a=1,b=m,c=7x1×x2=c/a(3-√2)x2=7解得：x2=3+√2x1+x2=-b/a=-m3-√2+3+√2=6m=-6

Answer 4

在x^2+mx+7＝0中
a=1,b=m,c=7
x1×x2=c/a
(3-√2)x2=7
解得：x2=3+√2

x1+x2=-b/a=-m
3-√2+3+√2=6
m=-6