Question

设为数列的前项和,。 (1)证明:数列为等差数列,并求。 (2)设,求数列的前项和。

设 是数列 的前 项和， ， ， . （1）求证：数列 是等差数列，并 的通项； （2）设 ，求数列 的前 项和 .

Answer 1

设 是数列 的前 项和， ， ， . （1）求证：数列 是等差数列，并 的通项； （2）设 ，求数列 的前 项和 . （1）证明过程详见解析， ；（2） . 试题分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式、数列求和等基础知识，考查化归与转化的思想方法，考查运算能力、推理论证能力.第一问，因为 ，所以变形得 ，利用等差数列的定义证明，然后直接写出通项公式，再由 求 ，注意验证 的情况，第二问，将第一问的结论代入，用裂项相消法求数列的和. 试题解析：（Ⅰ） ，∴ ， 2分 即 ， ， ∴数列 是等差数列． 4分 由上知数列 是以2为公差的等差数列，首项为 ， 5分 ∴ ，∴ ． 7分 ∴ ． （或由 得 ） 由题知， 综上， 9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 10分 ∴ ， 12分 ∴ ． 13分